Напряженность эл поля измеряется в. Электрическое поле. Напряженность. Линии напряженности. Единицы измерения напряженности электрического поля
>>Физика: Напряженность электрического поля. Принцип суперпозиции полей
Недостаточно утверждать, что электрическое поле существует. Надо ввести количественную характеристику поля. После этого электрические поля можно будет сравнивать друг с другом и продолжать изучать их свойства.
Электрическое поле обнаруживается по силам, действующим на заряд. Можно утверждать, что мы знаем о поле все, что нам нужно, если будем знать силу, действующую на любой заряд в любой точке поля.
Поэтому надо ввести такую характеристику поля, знание которой позволит определить эту силу.
Если поочередно помещать в одну и ту же точку поля небольшие заряженные тела и измерять силы, то обнаружится, что сила, действующая на заряд со стороны поля, прямо пропорциональна этому заряду. Действительно, пусть поле создается точечным зарядомq 1
. Согласно закону Кулона (14.2) на заряд q 2
действует сила, пропорциональная заряду q 2
. Поэтому отношение силы, действующей на помещаемый в данную точку поля заряд, к этому заряду для каждой точки поля не зависит от заряда и может рассматриваться как характеристика поля. Эту характеристику называютнапряженностью электрического поля. Подобно силе, напряженность поля – векторная величина
; ее обозначают буквой . Если помещенный в поле заряд обозначить через q
вместо q 2
, то напряженность будет равна:
Отсюда сила, действующая на заряд q со стороны электрического поля, равна:
Напряженность поля точечного заряда. Найдем напряженность электрического поля, создаваемого точечным зарядом q 0 . По закону Кулона этот заряд будет действовать на положительный заряд q с силой, равной
если в данной точке пространства различные заряженные частицы создают электрические поля, напряженности которых
и т. д., то результирующая напряженность поля в этой точке равна сумме напряженностей этих полей:
причем напряженность поля, создаваемая отдельным зарядом, определяется так, как будто других зарядов, создающих поле, не существует.
Благодаря принципу суперпозиции для нахождения напряженности поля системы заряженных частиц в любой точке достаточно знать выражение (14.9) для напряженности поля точечного заряда. На рисунке 14.8 показано, как определяется напряженность поля в точке A
, созданная двумя точечными зарядами q 1
и q 2 , q 1 >q 2
???
1. Что называется напряженностью электрического поля?
2. Чему равна напряженность поля точечного заряда?
3. Как направлена напряженность поля зарядаq 0 , если q 0
>0
? если q 0
<0
?
4. Как формулируется принцип суперпозиции полей?
Г.Я.Мякишев, Б.Б.Буховцев, Н.Н.Сотский, Физика 10 класс
Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные урокиЕсли у вас есть исправления или предложения к данному уроку,
§3 Электростатическое поле.
Напряженность электростатического поля
Электрические заряды создай вокруг себя электрическое поле. Поле - одна из форм существования материи. Поле можно исследовать, описать его силовые, энергетические и др. свойства. Поле, создаваемое неподвижными электрическими зарядами, называется ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИМ . Для исследования электростатического поля используют пробный точечный положительный заряд - такой заряд, который не искажает исследуемое поле (не вызывает перераспределение зарядов).
Если в поле, создаваемое зарядом q , поместить пробный заряд q 1 на него будет действовать сила F 1 , причем величина этой силы зависит от величины заряда помещаемого в данную точку поля. Если в туже точку поместить заряд q 2 , то сила Кулона F 2 ~ q 2 и т.д.
Однако, отношение силы Кулона к величине пробного заряда, есть величина постоянная для данной точки пространства
и характеризует электрическое поле в той точке, где находится пробный заряд. Эта величина называется напряженностью и является силовой характеристикой электростатического поля.
НАПРЯЖЕННОСТЬ поля есть векторная величина, численно равная силе, действующей на единичный положительный точечный заряд, помещенный в данную точку поля
Направление вектора напряженности совпадает с направлением действия силы.
Определим напряженность поля, создаваемого точечным зарядом q на некотором расстоянии r от него в вакууме
§4 Принцип суперпозиции полей.
Силовые линии вектора Е
Определим значение и направление вектора поля, создаваемого системой неподвижных зарядов q 1 , q 2 , … q n . Результирующая сила , действующая со стороны поля на пробный заряд q , равна векторной сумме сил , приложении к нему со стороны каждого из зарядов q i
Разделив на q , получим
ПРИНЦИП СУПЕРП0ЗИЦИИ (наложения) полей:
Напряженность результирующего поля, создаваемого системой зарядов, равна геометрической (векторной) сумме напряженностей полей, создаваемых в данной точке каждым из зарядов в отдельности.
Электростатическое поле очень наглядно можно изображать с помощью линий напряженности или силовых линий вектора .
СИЛОВОЙ ЛИНИЕЙ вектора напряженности называется кривая, касательная к которой в каждой точке пространства совпадает с направлением вектора .
Принцип построения силовых линий :
3. Для количественного описания вектора Е силовые линии проводят с определенной густотой. Число линий напряженности, пронизывающих единицу площади поверхности, перпендикулярную линиям напряженности, должно быть равно модулю вектора .
ОДНОРОДНЫМ называется поле, у которого вектор в любой точке пространства постоянен по величине и направлению, т.е. силовые линии вектора параллельны и густота их постоянна во всех точках.
Неоднородное поле
Однородное поле
Картина силовых линий изолированных точечных зарядов
§4’ Диполь.
Дипольный момент.
Поле диполя
ЭЛЕКТРИЧЕСКИМ ДИПОЛЕМ называется система двух, точечных разноименных зарядов (+ и -) находящихся на расстоянии?.
Вектор, направленный по оси диполя (прямой, проходящей через оба заряда) от отрицательного заряда к положительному и равный расстоянию между ними, называется ПЛЕЧОМ диполя .
Вектор
совпадающий по направлению с плечом диполя и равный произведению заряда q на плечо называется электрическим моментом диполя или ДИПОЛЬНЫМ МОМЕНТОМ .
По принципу суперпозиции полей напряженность Е поля диполя в произвольной точке
«Физика - 10 класс»
При решении задач с использованием понятия напряжённости электрического поля нужно прежде всего знать формулы (14.8) и (14.9), определяющие силу, действующую на заряд со стороны электрического поля, и напряжённость поля точечного заряда. Если поле создаётся несколькими зарядами, то для расчёта напряжённости в данной точке надо сделать рисунок и затем определить напряжённость как геометрическую сумму напряжённостей полей.
Задача 1.
Два одинаковых положительных точечных заряда расположены на расстоянии r друг от друга в вакууме. Определите напряжённость электрического поля в точке, расположенной на одинаковом расстоянии r от этих зарядов.
Р е ш е н и е.
Согласно принципу суперпозиции полей искомая напряжённость равна геометрической сумме напряжённостей полей, созданных каждым из зарядов (рис. 14.17): = 1 + 2 .
Модули напряжённостей полей зарядов равны:
Диагональ параллелограмма, построенного на векторах 1 и 2 , есть напряжённость результирующего поля, модуль которой равен:
Задача 2.
Проводящая сфера радиусом R = 0,2 м, несущая заряд q = 1,8 10 -4 Кл, находится в вакууме. Определите: 1) модуль напряжённости электрического поля на её поверхности; 2) модуль напряжённости 1 электрического поля в точке, отстоящей на расстоянии r 1 = 10 м от центра сферы; 3) модуль напряжённости 0 в центре сферы.
Р е ш е н и е.
Электрическое поле заряженной сферы вне её совпадает с полем точечного заряда. Поэтому
Следовательно,
Задача 3.
В однородное электрическое поле напряжённостью Е 0 = 3 кН/Кл внесли точечный заряд q = 4 10 -10 Кл. Определите напряжённость электрического поля в точке А, находящейся на расстоянии r = 3 см от точечного заряда. Отрезок, соединяющий заряд и точку А, перпендикулярен силовым линиям однородного электрического поля.
Р е ш е н и е.
Согласно принципу суперпозиции напряжённость электрического поля в точке А равна векторной сумме напряжённостей однородного поля 0 и поля 1 , созданного в этой точке внесённым электрическим зарядом. На рисунке 14.18 показаны эти два вектора и их сумма. По условию задачи векторы 0 и 1 взаимно перпендикулярны. Напряжённость поля точечного заряда
Тогда напряжённость электрического поля в точке А равна:
Задача 4.
В вершинах равностороннего треугольника со стороной а = 3 см находятся три точечных заряда q 1 = q 2 = 10 -9 Кл, q 3 = -2 10 -9 Кл. Определите напряжённость электрического поля в центре треугольника в точке О.
Согласно принципу суперпозиции полей напряжённость поля в точке О равна векторной сумме напряжённостей полей, созданных каждым зарядом в отдельности: 0 = 1 + 2 + 3 , причём 
где
На рисунке 14.19 показаны векторы напряжённостей 1 , 2 , 3 . Сначала сложим векторы 1 и 2 . Как видно из рисунка, угол между этими векторами равен 120°. Следовательно, модуль суммарного вектора равен модулю l 1 l и направлен в ту же сторону, что и вектор 3 .
Наряду с законом Кулона возможно и другое описание взаимодействия электрических зарядов.
Дальнодействие и близкодействие. Закон Кулона, подобно закону всемирного тяготения, трактует взаимодействие зарядов как «действие на расстоянии», или «дальнодействие». Действительно, кулоновская сила зависит лишь от величины зарядов и от расстояния между ними. Кулон был убежден, что промежуточная среда, т. е. «пустота» между зарядами, никакого участия во взаимодействии не принимает.
Такая точка зрения, несомненно, была навеяна впечатляющими успехами ньютоновской теории тяготения, блестяще подтверждавшейся астрономическими наблюдениями. Однако еще сам Ньютон писал: «Непонятно, каким образом неодушевленная косная материя, без посредства чего-либо иного, что нематериально, могла бы действовать на другое тело без взаимного прикосновения». Тем не менее концепция дальнодействия, основанная на представлении о мгновенном действии одного тела на другое на расстоянии без участия какой-либо промежуточной среды, еще долго доминировала в научном мировоззрении.
Идея поля как материальной среды, посредством которой осуществляется любое взаимодействие пространственно удаленных тел, была введена в физику в 30-е годы XIX века великим английским естествоиспытателем М. Фарадеем, который считал, что «материя присутствует везде, и нет промежуточного пространства, не занятого
ею». Фарадей развил последовательную концепцию электромагнитного поля, основанную на идее конечной скорости распространения взаимодействия. Законченная теория электромагнитного поля, облеченная в строгую математическую форму, была впоследствии развита другим великим английским физиком Дж. Максвеллом.
По современным представлениям электрические заряды наделяют окружающее их пространство особыми физическими свойствами - создают электрическое поле. Основным свойством поля является то, что на находящуюся в этом поле заряженную частицу действует некоторая сила, т. е. взаимодействие электрических зарядов осуществляется посредством создаваемых ими полей. Поле, создаваемое неподвижными зарядами, не изменяется со временем и называется электростатическим. Для изучения поля необходимо найти его физические характеристики. Рассматривают две такие характеристики - силовую и энергетическую.
Напряженность электрического поля. Для экспериментального изучения электрического поля в него нужно поместить пробный заряд. Практически это будет какое-то заряженное тело, которое, во-первых, должно иметь достаточно малые размеры, чтобы можно было судить о свойствах поля в определенной точке пространства, и, во-вторых, его электрический заряд должен быть достаточно малым, чтобы можно было пренебречь влиянием этого заряда на распределение зарядов, создающих изучаемое поле.
На пробный заряд, помещенный в электрическое поле, действует сила, которая зависит как от поля, так и от самого пробного заряда. Эта сила тем больше, чем больше пробный заряд. Измеряя силы, действующие на разные пробные заряды, помещенные в одну и ту же точку, можно убедиться, что отношение силы к пробному заряду уже не зависит от величины заряда. Значит, это отношение характеризует само поле. Силовой характеристикой электрического поля является напряженность Е - векторная величина, равная в каждой точке отношению силы действующей на пробный заряд помещенный в эту точку, к заряду
Другими словами, напряженность поля Е измеряется силой, действующей на единичный положительный пробный заряд. В общем случае напряженность поля разная в разных точках. Поле, в котором напряженность во всех точках одинакова как по модулю, так и по направлению, называется однородным.
Зная напряженность электрического поля, можно найти силу, действующую на любой заряд помещенный в данную точку. В соответствии с (1) выражение для этой силы имеет вид
Как же найти напряженность поля в какой-либо точке?
Напряженность электрического поля, создаваемого точечным зарядом, можно рассчитать с помощью закона Кулона. Будем рассматривать точечный заряд как источник электрического поля. Этот заряд действует на расположенный на расстоянии от него пробный заряд с силой, модуль которой равен
Поэтому в соответствии с (1), разделив это выражение на получаем модуль Е напряженности поля в точке, где расположен пробный заряд, т. е. на расстоянии от заряда
Таким образом, напряженность поля точечного заряда убывает с расстоянием обратно пропорционально квадрату расстояния или, как говорят, по закону обратных квадратов. Такое поле называют кулоновским. При приближении к создающему поле точечному заряду напряженность поля точечного заряда неограниченно возрастает: из (4) следует, что при
Коэффициент к в формуле (4) зависит от выбора системы единиц. В СГСЭ к = 1, а в СИ . Соответственно формула (4) записывается в одном из двух видов:
Единица напряженности в СГСЭ специального названия не имеет, а в СИ она называется «вольт на метр»
Вследствие изотропности пространства, т. е. эквивалентности всех направлений, электрическое поле уединенного точечного заряда сферически-симметрично. Это обстоятельство проявляется в формуле (4) в том, что модуль напряженности поля зависит только от расстояния до заряда, создающего поле. Вектор напряженности Е имеет радиальное направление: он направлен от создающего поле заряда если это положительный заряд (рис. 6а, а), и к создающему поле заряду если этот заряд отрицательный (рис. 6б).
Выражение для напряженности поля точечного заряда можно записать в векторном виде. Начало координат удобно поместить в точку, где находится заряд, создающий поле. Тогда напряженность поля в любой точке, характеризуемой радиусом-вектором дается выражением
В этом можно убедиться, сопоставив определение (1) вектора напряженности поля с формулой (2) § 1, либо отталкиваясь
непосредственно от формулы (4) и учитывая сформулированные выше соображения о направлении вектора Е.
Принцип суперпозиции. Как найти напряженность электрического поля, создаваемого произвольным распределением зарядов?
Опыт показывает, что электрические поля удовлетворяют принципу суперпозиции. Напряженность поля, создаваемого несколькими зарядами, равна векторной сумме напряженностей полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности:
Принцип суперпозиции фактически означает, что присутствие других электрических зарядов никак не сказывается на поле, создаваемом данным зарядом. Такое свойство, когда отдельные источники действуют независимо и их действия просто складываются, присуще так называемым линейным системам, и само такое свойство физических систем называется линейностью. Происхождение этого названия связано с тем, что такие системы описываются линейными уравнениями (уравнениями первой степени).
Подчеркнем, что справедливость принципа суперпозиции для электрического поля не является логической необходимостью или чем-то само собой разумеющимся. Этот принцип представляет собой обобщение опытных фактов.
Принцип суперпозиции позволяет рассчитать напряженность поля, создаваемого любым распределением неподвижных электрических зарядов. В случае нескольких точечных зарядов рецепт расчета результирующей напряженности очевиден. Любой неточечный заряд можно мысленно разбить на такие малые части, чтобы каждую из них можно было рассматривать как точечный заряд. Напряженность электрического поля в произвольной точке находится как
векторная сумма напряженностей, создаваемых этими «точечными» зарядами. Соответствующие расчеты значительно упрощаются в тех случаях, коща в распределении создающих поле зарядов имеется определенная симметрия.
Линии напряженности. Наглядное графическое изображение электрических полей дают линии напряженности или силовые линии.
Рис. 7. Линии напряженности поля положительного и отрицательного точечных зарядов
Эти линии электрического поля проводятся таким образом, чтобы в каждой точке касательная к линии совпадала по направлению с вектором напряженности в этой точке. Иначе говоря, в любом месте вектор напряженности направлен по касательной к силовой линии, проходящей через эту точку. Силовым линиям приписывают направление: они выходят из положительных зарядов или приходят из бесконечности. Они либо оканчиваются на отрицательных зарядах, либо уходят в бесконечность. На рисунках это направление указывают стрелками на силовой линии.
Силовую линию можно провести через любую точку электрического поля.
Линии проводят гуще в тех местах, где напряженность поля больше, и реже там, где она меньше. Таким образом, густота силовых линий дает представление о модуле напряженности.
Рис. 8. Линии напряженности поля разноименных одинаковых зарядов
На рис. 7 показаны силовые линии поля уединенного положительного и отрицательного точечных зарядов. Из симметрии очевидно, что это радиальные прямые, распределенные с одинаковой густотой по всем направлениям.
Более сложный вид имеет картина линий поля, создаваемого двумя зарядами противоположных знаков. Такое поле, очевидно,
обладает осевой симметрией: вся картина остается неизменной при повороте на любой угол вокруг оси, проходящей через заряды. Когда модули зарядов одинаковы, картина линий также симметрична относительно плоскости, проходящей перпендикулярно соединяющему их отрезку через его середину (рис. 8). В этом случае силовые линии выходят из положительного заряда и все они оканчиваются на отрицательном, хотя на рис. 8 нельзя показать, как замыкаются уходящие далеко от зарядов линии.
В разных точках пространства), таким образом, - это векторное поле . Формально это выражается в записи
E → = E → (x , y , z , t) , {\displaystyle {\vec {E}}={\vec {E}}(x,y,z,t),}представляющей напряжённость электрического поля как функцию пространственных координат (и времени, так как E → {\displaystyle {\vec {E}}} может меняться со временем). Это поле вместе с полем вектора магнитной индукции представляет собой электромагнитное поле , и законы, которым оно подчиняется, есть предмет электродинамики .
Напряжённость электрического поля в Международной системе единиц (СИ) измеряется в вольтах на метр [В/м] или в ньютонах на кулон [Н/Кл].
Напряжённость электрического поля в классической электродинамике
Из сказанного выше ясно, что напряженность электрического поля - одна из основных фундаментальных величин классической электродинамики. В этой области физики можно назвать сопоставимыми с ней по значению только вектор магнитной индукции (вместе с вектором напряженности электрического поля образующий тензор электромагнитного поля) и электрический заряд . С некоторой точки зрения столь же важными представляются потенциалы электромагнитного поля (образующие вместе единый электромагнитный потенциал).
- Остальные понятия и величины классической электродинамики, такие как электрический ток , плотность тока , плотность заряда , вектор поляризации , а также вспомогательные поле электрической индукции и напряженность магнитного поля - хотя достаточно важны и значимы, но их значение гораздо меньше, и по сути могут считаться полезными и содержательными, но вспомогательными величинами.
Приведем краткий обзор основных контекстов классической электродинамики в отношении напряженности электрического поля.
Сила, с которой действует электромагнитное поле на заряженные частицы
Полная сила, с которой электромагнитное поле (включающее вообще говоря электрическую и магнитную составляющие) действует на заряженную частицу, выражается формулой силы Лоренца :
F → = q E → + q v → × B → , {\displaystyle {\vec {F}}=q{\vec {E}}+q{\vec {v}}\times {\vec {B}},}где q {\displaystyle q} - электрический заряд частицы, v → {\displaystyle {\vec {v}}} - её скорость, B → {\displaystyle {\vec {B}}} - вектор магнитной индукции (основная характеристика магнитного поля), косым крестом × {\displaystyle \times } обозначено векторное произведение . Формула приведена в единицах СИ .
Как видим, эта формула полностью согласуется с определением напряженности электрического поля, данном в начале статьи, но является более общей, так как включает в себя также действие на заряженную частицу (если та движется) со стороны магнитного поля.
В этой формуле частица предполагается точечной. Однако эта формула позволяет рассчитать и силы, действующие со стороны электромагнитного поля на тела любой формы с любым распределением зарядов и токов - надо только воспользоваться обычным для физики приемом разбиения сложного тела на маленькие (математически - бесконечно маленькие) части, каждая из которых может считаться точечной и таким образом входящей в область применимости формулы.
Остальные формулы, применяемые для расчета электромагнитных сил (такие, как, например, формула силы Ампера) можно считать следствиями фундаментальной формулы силы Лоренца, частными случаями её применения и т. п.
Однако для того, чтобы эта формула была применена (даже в самых простых случаях, таких, как расчет силы взаимодействия двух точечных зарядов), необходимо знать (уметь рассчитывать) E → {\displaystyle {\vec {E}}} и B → , {\displaystyle {\vec {B}},} чему посвящены следующие параграфы.
Уравнения Максвелла
Достаточным вместе с формулой силы Лоренца теоретическим фундаментом классической электродинамики являются уравнения электромагнитного поля, называемые уравнениями Максвелла . Их стандартная традиционная форма представляет собой четыре уравнения, в три из которых входит вектор напряженности электрического поля:
d i v E → = ρ ε 0 , r o t E → = − ∂ B → ∂ t , {\displaystyle \mathrm {div} {\vec {E}}={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathrm {rot} \,{\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}},} d i v B → = 0 , r o t B → = μ 0 j → + 1 c 2 ∂ E → ∂ t . {\displaystyle \mathrm {div} {\vec {B}}=0,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathrm {rot} \,{\vec {B}}=\mu _{0}{\vec {j}}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}.}Здесь ρ {\displaystyle \rho } - плотность заряда , j → {\displaystyle {\vec {j}}} - плотность тока , ε 0 {\displaystyle \varepsilon _{0}} - электрическая постоянная , μ 0 {\displaystyle \mu _{0}} - магнитная постоянная , c {\displaystyle c} - скорость света (уравнения здесь записаны в единицах СИ).
Здесь приведена наиболее фундаментальная и простая форма уравнений Максвелла - так называемые «уравнения для вакуума» (хотя, вопреки названию, они вполне применимы и для описания поведения электромагнитного поля в среде). Подробно о других формах записи уравнений Максвелла - .
Этих четырёх уравнений вместе с пятым - уравнением силы Лоренца - в принципе достаточно, чтобы полностью описать классическую (то есть не квантовую) электродинамику, то есть они представляют её полные законы. Для решения конкретных реальных задач с их помощью необходимы ещё уравнения движения «материальных частиц» (в классической механике это законы Ньютона), а также зачастую дополнительная информация о конкретных свойствах физических тел и сред, участвующих в рассмотрении (их упругости, электропроводности, поляризуемости и т. д., и т. п.), а также о других силах, участвующих в задаче (например, о гравитации), однако вся эта информация уже не входит в рамки электродинамики как таковой, хотя и оказывается зачастую необходимой для построения замкнутой системы уравнений, позволяющих решить ту или иную конкретную задачу в целом.
«Материальные уравнения»
Такими дополнительными формулами или уравнениями (обычно не точными, а приближенными, зачастую всего лишь эмпирическими), которые не входят непосредственно в область электродинамики, но поневоле используются в ней ради решения конкретных практических задач, называемыми «материальными уравнениями», являются, в частности:
- в разных случаях многие другие формулы и соотношения.
Связь с потенциалами
Связь напряженности электрического поля с потенциалами в общем случае такова:
E → = − ∇ φ − ∂ A → ∂ t , {\displaystyle {\vec {E}}=-\nabla \varphi -{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}},}где φ , A → {\displaystyle \varphi ,{\vec {A}}} - скалярный и векторный потенциалы. Приведем здесь для полноты картины и соответствующее выражение для вектора магнитной индукции:
B → = r o t A → . {\displaystyle {\vec {B}}=\mathrm {rot} {\vec {A}}.}В частном случае стационарных (не меняющихся со временем) полей , первое уравнение упрощается до:
E → = − ∇ φ . {\displaystyle {\vec {E}}=-\nabla \varphi .}Это выражение для связи электростатического поля с электростатическим потенциалом.
Электростатика
Важным с практической и с теоретической точек зрения частным случаем в электродинамике является тот случай, когда заряженные тела неподвижны (например, если исследуется состояние равновесия) или скорость их движения достаточно мала чтобы можно было приближенно воспользоваться теми способами расчета, которые справедливы для неподвижных тел. Этим частным случаем занимается раздел электродинамики, называемый электростатикой .
Уравнения поля (уравнения Максвелла) при этом также сильно упрощаются (уравнения с магнитным полем можно исключить, а в уравнение с дивергенцией можно подставить − ∇ ϕ {\displaystyle -\nabla \phi } ) и сводятся к уравнению Пуассона :
Δ φ = − ρ ε 0 , {\displaystyle \Delta \varphi =-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}},}а в областях, свободных от заряженных частиц - к уравнению Лапласа :
Δ φ = 0. {\displaystyle \Delta \varphi =0.}Учитывая линейность этих уравнений, а следовательно применимость к ним принципа суперпозиции, достаточно найти поле одного точечного единичного заряда, чтобы потом найти потенциал или напряженность поля, создаваемого любым распределением зарядов (суммируя решения для точечного заряда).
Теорема Гаусса
Очень полезной в электростатике оказывается теорема Гаусса , содержание которой сводится к интегральной форме единственного нетривиального для электростатики уравнения Максвелла:
∮ S E → ⋅ d S → = Q ε 0 , {\displaystyle \oint \limits _{S}{\vec {E}}\cdot {\vec {dS}}={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}},}где интегрирование производится по любой замкнутой поверхности S {\displaystyle S} (вычисляя поток E → {\displaystyle {\vec {E}}} через эту поверхность), Q {\displaystyle Q} - полный (суммарный) заряд внутри этой поверхности.
Эта теорема дает крайне простой и удобный способ расчета напряженности электрического поля в случае, когда источники имеют достаточно высокую симметрию, а именно сферическую, цилиндрическую или зеркальную+трансляционную. В частности, таким способом легко находится поле точечного заряда, сферы, цилиндра, плоскости.
Напряжённость электрического поля точечного заряда
В единицах СИ
Для точечного заряда в электростатике верен закон Кулона
φ = 1 4 π ε 0 ⋅ q r , {\displaystyle \varphi ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\cdot {\frac {q}{r}},} E → = 1 4 π ε 0 ⋅ q r 2 ⋅ r → r , {\displaystyle {\vec {E}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\cdot {\frac {q}{r^{2}}}\cdot {\frac {\vec {r}}{r}},} E ≡ | E → | = 1 4 π ε 0 ⋅ q r 2 . {\displaystyle E\equiv |{\vec {E}}|={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\cdot {\frac {q}{r^{2}}}.}Исторически закон Кулона был открыт первым, хотя с теоретической точки зрения уравнения Максвелла более фундаментальны. С этой точки зрения он является их следствием. Получить этот результат проще всего, исходя из , учитывая сферическую симметрию задачи: выбрать поверхность S {\displaystyle S} в виде сферы с центром в точечном заряде, учесть, что направление E → {\displaystyle {\vec {E}}} будет очевидно радиальным, а модуль этого вектора одинаков везде на выбранной сфере (так что E {\displaystyle E} можно вынести за знак интеграла), и тогда, учитывая формулу для площади сферы радиуса r {\displaystyle r} : 4 π r 2 {\displaystyle 4\pi r^{2}} , имеем:
4 π r 2 E = q / ε 0 , {\displaystyle 4\pi r^{2}E=q/\varepsilon _{0},}откуда сразу получаем ответ для E {\displaystyle E} .
Ответ для φ {\displaystyle \varphi } получается интегрированием E {\displaystyle E} :
φ = − ∫ E → ⋅ d l → = − ∫ E d r . {\displaystyle \varphi =-\int {\vec {E}}\cdot {\vec {dl}}=-\int Edr.}Для системы СГС
Формулы и их вывод аналогичны, отличие от СИ лишь в константах.
φ = q r , {\displaystyle \varphi ={\frac {q}{r}},} E → = q r 2 r → r , {\displaystyle {\vec {E}}={\frac {q}{r^{2}}}{\frac {\vec {r}}{r}},} E = | E → | = q r 2 . {\displaystyle E=|{\vec {E}}|={\frac {q}{r^{2}}}.}Напряженность электрического поля произвольного распределения зарядов
По принципу суперпозиции для напряженности поля совокупности дискретных источников имеем:
E → = E → 1 + E → 2 + E → 3 + … , {\displaystyle {\vec {E}}={\vec {E}}_{1}+{\vec {E}}_{2}+{\vec {E}}_{3}+\dots ,}где каждое
E → i = 1 4 π ε 0 q i (Δ r → i) 2 Δ r → i | Δ r → i | , {\displaystyle {\vec {E}}_{i}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {q_{i}}{(\Delta {\vec {r}}_{i})^{2}}}{\frac {\Delta {\vec {r}}_{i}}{|\Delta {\vec {r}}_{i}|}},} Δ r → i = r → − r → i . {\displaystyle \Delta {\vec {r}}_{i}={\vec {r}}-{\vec {r}}_{i}.}Подставив, получаем.